Prodotti notevoli

Con il nome di prodotti notevoli si indicano in algebra alcune particolari moltiplicazioni o potenze di polinomi che possono essere risolte in modo più semplice applicando delle regole che ci evitano di fare calcoli in più.  Questo significa che faremo meno calcoli e – quindi – avremo meno possibilità di errore. Per questo è importante capire bene come applicare le regole dei prodotti notevoli.

Caso 1 – Somma di due monomi per la loro differenza

(a+b)(a-b)=

ogni termine nella prima parentesi va moltiplicato per tutti quelli della seconda parentesi

quindi avremo:

a²-ab+ab-b²

risulta chiaro che possiamo eliminare i due termini -ab e +ab perché sono uguali ma di segno opposto. Quindi restano solo i termini:

a²-b²

allora la regola che possiamo seguire quando abbiamo una moltiplicazione di questo genere (a+b)(a-b) è fare direttamente il quadrato del primo termine a² meno il quadrato del secondo termine b²

(a+b)(a-b)=a²-b²

Esercizi da svolgere:

(2a+2b)(2a-2b)

(a²-3b³)(a²+3b³)

Eccezione: se avessimo il caso della somma di due monomi per la loro somma (a+b)(a+b) in quel caso abbiamo un altro prodotto notevole che si chiama quadrato del binomio.

Caso 2 – quadrato del binomio

(a+b)²=

equivale ad avere la moltiplicazione tra (a+b)(a+b) quindi moltiplichiamo ogni termine nella prima parentesi per tutti quelli contenuti nella seconda parentesi

ossia

a²+ab+ab+b² quindi sommando i due termini ab avremo come risultato

a²+2ab+b²

allora possiamo trarre la seguente regola nel caso del quadrato del binomio, calcolo il quadrato del primo termine, più il quadrato del secondo termine, a cui aggiungo il doppio prodotto del primo per il secondo – ossia moltiplico per 2 il primo ed il secondo termine applicando la regola dei segni.

Esercizi

(2a+3b)²

(5a²-3b³)²

E se avessimo il cubo di un binomio?

Caso 3 – cubo del binomio

(a+b)³

in questo caso è come se avessimo il seguente prodotto (a+b)(a+b)(a+b)

procediamo alle moltiplicazioni tra le prime due parentesi, tutti i termini della prima parentesi per tutti quelli della seconda ed avremo:

(a²+ab+ab+b²)(a+b) così sommiamo i due termini +ab e + ab ed avremo +2ab ossia:

(a²+2ab+b²)(a+b)

quindi procediamo a moltiplicare tutti i termini della prima parentesi per la seconda parentesi e avremo:

a³+a²b+2a²b+2ab²+ab²+b³ allora sommiamo i termini con parte letterale uguale quindi +a²b+2a²b e gli altri due +2ab²+ab² per cui avremo dalla loro somma +3a²b e +3ab² così possiamo scrivere:

a³+3a²b+3ab²+b³

come possiamo vedere si può ricavare la seguente regola che ci evita di calcolare le somme intermedie: calcolo il cubo del primo termine più il cubo del secondo termine a cui aggiungo il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo termine ed il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo termine. Qui si deve fare attenzione ai segni perché abbiamo a che fare con il cubo per cui ogni volta va verificato se si mantiene o no il segno negativo.

Esercizi

(2a+2b)³

(3a²-b)³

(-3a³-2b²)³